Considere a função f definida por:
f(x, y)=l x y^4raizx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Calcule as derivadas parciais primeiras fx e fy em (0,0);

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis
f(x,y)= dfracx,y^4raizx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais primeiras em (0,0). Para isso vamos usar a definição de derivada parcial:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h, fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h

Passo 2

Calcular fx(0,0). Para qualquer hneq0,
f(h,0)=hcdot0^4raizh^2+0^2=0,
e f(0,0)=0. Logo
f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0
para todo h. Portanto
fx(0,0)=limhto00=0

Passo 3

Calcular fy(0,0). Para qualquer hneq0,
f(0,h)=0cdot h^4raiz0^2+h^2=0,
e f(0,0)=0. Então
f(0,h)-f(0,0)h=0-0h=0
para todo h. Logo
fy(0,0)=limhto00=0

Resposta

fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.

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