Considere a função f definida por:
f(x, y)=l x y^4raizx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos verificar se . Para isso, precisamos (i) calcular as derivadas parciais em e (ii) mostrar que o resto da aproximação linear é de ordem superior a .]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
e
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Logo, a aproximação linear candidata em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 3

Para confirmar diferenciabilidade, verificamos
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)-L(x,y)|raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|raizx^2+y^2 stackrel?=0

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y)=(rcostheta),(rsintheta)^4r =r^4costheta,sin^4theta,
e
|f(x,y)|r =r^3,|costheta|,|sintheta|^4<= r^3
Como rto0 implica r^3to0, conclui-se que
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|raizx^2+y^2=0
Isso mostra que o resto é o(raizx^2+y^2) e, portanto, f é diferenciável em (0,0).

Resposta

Sim. A função f é diferenciável em (0,0).

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