Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 x^4 y(raizx^4+y^2)^3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar o limite de
f(x,y)=x^4yl(raizx^4+y^2r)^3
quando (x,y)to(0,0). Este é um caso típico de limite de função de duas variáveis com forma “ 0/0”, então vamos verificar se o valor depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Teste pelo caminho dado por
y = m,x^2,
com m constante. Substituindo em f:
fl(x,mx^2r) =x^4,(m x^2)l(raizx^4+(m x^2)^2r)^3 =m,x^6l(raizx^4+m^2x^4r)^3
Como
x^4+m^2x^4=(1+m^2)x^4, raiz(1+m^2)x^4=(1+m^2)^1/2x^2,
segue que
l(raiz(1+m^2)x^4r)^3 =(1+m^2)^3/2x^6,
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fl(x,mx^2r) =m,x^6(1+m^2)^3/2x^6 =m(1+m^2)^3/2

Passo 3

Observamos que o resultado
m(1+m^2)^3/2
depende do parâmetro m. Por exemplo:
  • Se m=0, o limite vale 0.
  • Se m=1, o limite vale tfrac1(1+1)^3/2=tfrac12raiz2.
Como obtivemos valores distintos para escolhas diferentes de m, o limite não é único.

Passo 4

Conclusão: devido à dependência do valor em relação à inclinação do caminho (parâmetro m), o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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