Calcule os limites, se existirem:
lim x infty(1+1x)^x2

Passo 1

O enunciado pede limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^x2. Este é um limite do tipo exponencial e vamos usar transforma\c{c}~{a}o pelo logaritmo e uma expans~{a}o de s’erie (ou equivalentes via L’H^opital) para chegar `{a} resposta.

Passo 2

Definimos
y = l(1+tfrac1xr)^x2,
para então estudar o comportamento de ln y. Temos
ln y = x2,ln!l(1+tfrac1xr)

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+u) em torno de u=0:
ln!l(1+tfrac1xr) = tfrac1x ;-;tfrac12x^2+o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por tfracx2:
ln y = x2l(tfrac1x - tfrac12x^2+o(tfrac1x^2)r) = tfrac12 - tfrac14x + o(tfrac1x) ;longrightarrow;tfrac12 quando xtoinfty

Passo 4

Como ln ytotfrac12, segue que
y = e^ln y ;longrightarrow; e^12 = raize

Resposta

raize

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