Utilizando o teorema do confronto, prove que a função:
f(x)=rll x^2 cos (1x), & se & x neq 0 0, & se & x=0
é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2cosl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para mostrar que ela é contínua em x=0. Para isso basta provar que
limxto0f(x)=f(0)=0
Vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para xneq0 temos
lvert f(x)rvert =llvert x^2cosl(tfrac1xr)rrvert =x^2,llvertcosl(tfrac1xr)rrvert <= x^2cdot1 =x^2
Como também lvert f(x)rvert>= -x^2, segue a desigualdade em bloco
-,x^2;<=;x^2cosl(tfrac1xr);<=;x^2

Passo 3

Sabemos que
limxto0(-x^2)=0 e limxto0x^2=0
Pelo teorema do confronto,
limxto0f(x)=0
Como f(0)=0, concluímos que
limxto0f(x)=f(0),
ou seja, f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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