Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar

Passo 1

O enunciado define
f(t)=sin t,&0<= t<pi,[6pt]0,&t>=pi,
e pede Lf(t). O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a integração de uma função do tipo e^-stsin t.]

Passo 2

Pela definição,
Lf(t)=integral0^inftyf(t),e^-st,dt
Como f(t)=sin t em [0,pi) e zero em [pi,infty), fica
Lf(t)=integral0^pisin t,e^-st,dt

Passo 3

Usamos o resultado padrão
integral e^atsin(bt),dt =e^atl(asin(bt)-bcos(bt)r)a^2+b^2,
aqui com a=-s e b=1. Assim uma primitiva de e^-stsin t é
-e^-stl(ssin t+cos tr)s^2+1

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a pi:
integral0^pie^-stsin t,dt =[-e^-st(ssin t+cos t)s^2+1]0^pi =e^-spis^2+1-l(-1s^2+1r) =1+e^-spis^2+1

Resposta

Lf(t)=1+e^-spis^2+1

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