Considere a função:
(a) Calcule o limite
lim x 0 f(x)
(b) Justifique que
f(x) é uma função contínua em
x=0
(b) Justifique que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede em (a) o limite
limxto0f(x) e em (b) justificar a continuidade em
x=0 . Vamos usar o Teorema do Aperto e a definição de continuidade.
Passo 2
Para
xneq0 sabemos que
sinl(tfrac1xr)in[-1,1] , logo
Passo 3
Pelo Teorema do Aperto, como
limxto0-|x|=0 e
limxto0|x|=0 , segue
Passo 4
Para mostrar continuidade em
x=0 basta ver que
f(0)=0 e
limxto0f(x)=0 . Alternativamente, dado
varepsilon>0 , para
|x|<de<a temos
se escolhermos
de<a=varepsilon . Portanto
f é contínua em
0 .
Resposta
(a)
limxto0f(x)=0
(b) Comolimxto0f(x)=f(0)=0 ,
f é contínua em
x=0 .
(b) Como