Considere a função:
f(x)=rll x sin (1x), & se & x neq 0 0, & se & x=0
(a) Calcule o limite lim x 0 f(x)
(b) Justifique que f(x) é uma função contínua em x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= xsinl(tfrac1xr),&se xneq0, 0,&se x=0,
e pede em (a) o limite limxto0f(x) e em (b) justificar a continuidade em x=0. Vamos usar o Teorema do Aperto e a definição de continuidade.

Passo 2

Para xneq0 sabemos que sinl(tfrac1xr)in[-1,1], logo
-|x|<= xsinl(tfrac1xr)<=|x|

Passo 3

Pelo Teorema do Aperto, como limxto0-|x|=0 e limxto0|x|=0, segue
limxto0xsinl(tfrac1xr)=0

Passo 4

Para mostrar continuidade em x=0 basta ver que f(0)=0 e limxto0f(x)=0. Alternativamente, dado varepsilon>0, para |x|<de<a temos
|f(x)-f(0)|=|xsin(tfrac1x)|<=|x|<varepsilon
se escolhermos de<a=varepsilon. Portanto f é contínua em 0.

Resposta

(a) limxto0f(x)=0
(b) Como limxto0f(x)=f(0)=0, f é contínua em x=0.

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