Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 x^2 yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função x^2 yraizx^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de x e y se comportam quando se aproximam de zero e verificar se o limite existe de maneira consistente, independentemente do caminho que seguimos para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. As coordenadas polares são muito úteis para analisar limites em várias direções. Nelas, substituímos x e y por:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Onde r é a distância até a origem (0,0) e theta é o ângulo em relação ao eixo x .

Passo 3

Substituindo x e y na função:
x^2 yraizx^2+y^2 = (r cos(theta))^2 cdot (r sin(theta))raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2
Vamos simplificar o denominador:
raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = raizr^2 = r

Passo 4

Agora, a expressão fica:
(r cos(theta))^2 cdot (r sin(theta))r = r^2 cos^2(theta) cdot r sin(theta)r = r^2 cos^2(theta) sin(theta)

Passo 5

Queremos encontrar o limite quando r tende a 0:
limr to 0 r^2 cos^2(theta) sin(theta)
Observando que cos^2(theta) e sin(theta) são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o fator r^2 domina a expressão e faz com que tudo tende a 0.

Resposta

O limite é 0 .

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