Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores de
e
se comportam quando se aproximam de zero e verificar se o limite existe de maneira consistente, independentemente do caminho que seguimos para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. As coordenadas polares são muito úteis para analisar limites em várias direções. Nelas, substituímos
e
por:
Onde
é a distância até a origem
e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Substituindo
e
na função:
Vamos simplificar o denominador:
Passo 4
Agora, a expressão fica:
Passo 5
Queremos encontrar o limite quando
tende a 0:
Observando que
e
são funções limitadas (sempre entre -1 e 1), o fator
domina a expressão e faz com que tudo tende a 0.
Resposta
O limite é
.