Considere a função f definida por:
f(x, y)=ll x^2 y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0)? Justifique sua resposta:

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos uma função f(x, y) definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) e quando não é. Queremos descobrir se essa função é diferenciável no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis, além de utilizar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas parciais também precisam existir e serem contínuas ali. Então, vamos começar verificando a continuidade da função f em (0,0).

Passo 3

A função [f(x, y)) é dada por:
Para verificar a continuidade em quando se aproxima de e ver se ele é igual a .

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) dfracx^2 y^4x^2 + y^2
Para facilitar o cálculo, podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . Assim, r = raizx^2 + y^2 e, quando r to 0 , (x, y) to (0,0).

Passo 5

Substituindo em coordenadas polares:
dfracx^2 y^4x^2 + y^2 = dfrac(r cos theta)^2 (r sin theta)^4r^2 = dfracr^2 cos^2 theta cdot r^4 sin^4 thetar^2 = r^4 cos^2 theta sin^4 theta
Agora, o limite quando r to 0 de r^4 cos^2 theta sin^4 theta é claramente 0, já que r^4 tende a 0 e cos^2 theta sin^4 theta é limitado.

Passo 6

Portanto,
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0)
Isso mostra que a função f é contínua em (0,0).

Passo 7

Agora, para verificar a diferenciabilidade, precisamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0) e verificar se a aproximação linear é válida.
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x e em relação a y no ponto (0,0).

Passo 8

A derivada parcial de f em relação a x em (0,0) é dada por:
fx(0,0) = limh to 0 dfracf(h, 0) - f(0,0)h
Substituindo y = 0 :
f(h, 0) = dfrach^2 cdot 0^4h^2 + 0^2 = 0
Então,
fx(0,0) = limh to 0 dfrac0 - 0h = 0
De maneira semelhante, a derivada parcial em relação a y em (0,0) é:
fy(0,0) = limk to 0 dfracf(0, k) - f(0,0)k
Substituindo x = 0 :
f(0, k) = dfrac0^2 cdot k^40^2 + k^2 = 0
Então,
fy(0,0) = limk to 0 dfrac0 - 0k = 0

Passo 9

Agora que temos fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0 , a aproximação linear da função f em torno de (0,0) seria:
L(x, y) = f(0,0) + fx(0,0) cdot x + fy(0,0) cdot y = 0 + 0 cdot x + 0 cdot y = 0
Para f ser diferenciável em (0,0), o limite:
lim(x, y) to (0,0) dfracf(x, y) - L(x, y)raizx^2 + y^2 = lim(x, y) to (0,0) dfracf(x, y)raizx^2 + y^2
deve ser igual a 0.

Passo 10

Vamos calcular esse limite:
lim(x, y) to (0,0) dfracf(x, y)raizx^2 + y^2 = lim(x, y) to (0,0) dfracdfracx^2 y^4x^2 + y^2raizx^2 + y^2 = lim(x, y) to (0,0) dfracx^2 y^4(x^2 + y^2)^3/2
Usando novamente coordenadas polares:
dfracx^2 y^4(x^2 + y^2)^3/2 = dfrac(r cos theta)^2 (r sin theta)^4r^3 = dfracr^2 cos^2 theta cdot r^4 sin^4 thetar^3 = r^3 cos^2 theta sin^4 theta
Quando r to 0 , r^3 cos^2 theta sin^4 theta to 0 , já que r^3 to 0 e o restante é limitado.

Passo 11

Portanto,
lim(x, y) to (0,0) dfracf(x, y)raizx^2 + y^2 = 0
Isso confirma que a aproximação linear é válida e que f é diferenciável em (0,0).

Resposta

Sim, a função f é diferenciável em (0,0).

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