A função f é diferenciável em (0,0)? Justifique sua resposta:
Passo 1
Vamos analisar o problema: Temos uma função f(x, y) definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) e quando não é. Queremos descobrir se essa função é diferenciável no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis, além de utilizar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas parciais também precisam existir e serem contínuas ali. Então, vamos começar verificando a continuidade da função f em (0,0).
Passo 3
A função [f(x, y)) é dada por:
Para verificar a continuidade em quando se aproxima de e ver se ele é igual a .
Passo 4
Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) dfracx^2 y^4x^2 + y^2
Para facilitar o cálculo, podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . Assim, r = raizx^2 + y^2 e, quando r to 0 , (x, y) to (0,0).