Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
e
se aproximam de 0. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta olhando para diferentes caminhos que
e
podem seguir rumo ao ponto
.
Passo 2
Para analisar esse limite, uma boa estratégia é considerar diferentes caminhos que
e
podem seguir até chegar a
. Se obtivermos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos, isso indica que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando dois caminhos simples:
-
Caminho 1:
- Substituindo
na função: - Portanto, ao seguir esse caminho, o limite é 0.
- Substituindo
-
Caminho 2:
- Substituindo
na função: - Mais uma vez, o limite é 0.
- Substituindo
Passo 4
Embora ambos os caminhos acima resultem em 0, precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos considerar um caminho onde
depende de
, por exemplo,
, onde
é uma constante qualquer.
- Substituindo
na função: - Aqui, o limite depende do valor de
. Por exemplo: - Se
: - Se
:
- Se
- Como o resultado varia com diferentes valores de
, isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe.