Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 x^4 y^4(x^4+y^2)^3

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função x^4 y^4(x^4+y^2)^3 quando x e y se aproximam de 0. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta olhando para diferentes caminhos que x e y podem seguir rumo ao ponto (0,0).

Passo 2

Para analisar esse limite, uma boa estratégia é considerar diferentes caminhos que x e y podem seguir até chegar a (0,0). Se obtivermos resultados diferentes ao escolher caminhos distintos, isso indica que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando dois caminhos simples:
  1. Caminho 1: y = 0
    • Substituindo y = 0 na função: x^4 cdot 0^4(x^4 + 0^2)^3 = 0x^12 = 0
    • Portanto, ao seguir esse caminho, o limite é 0.
  2. Caminho 2: x = 0
    • Substituindo x = 0 na função: 0^4 cdot y^4(0^4 + y^2)^3 = 0y^6 = 0
    • Mais uma vez, o limite é 0.

Passo 4

Embora ambos os caminhos acima resultem em 0, precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos considerar um caminho onde y depende de x, por exemplo, y = kx^2, onde k é uma constante qualquer.
  • Substituindo y = kx^2 na função: x^4 cdot (kx^2)^4(x^4 + (kx^2)^2)^3 = x^4 cdot k^4x^8(x^4 + k^2x^4)^3 = k^4x^12x^12(1 + k^2)^3 = k^4(1 + k^2)^3
  • Aqui, o limite depende do valor de k. Por exemplo:
    • Se k = 1: 1^4(1 + 1)^3 = 18
    • Se k = 2: 2^4(1 + 4)^3 = 16125
  • Como o resultado varia com diferentes valores de k, isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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