Calcule os limites se existirem. Justifique sua resposta usando a definição de limite ou algum outro resultado equivalente.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x-1}{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -1}\frac{x-1}{1-x^{2}}
usando definição de limite ou resultados equivalentes. O conteúdo aqui é limite de função em ponto onde o denominador se anula, e vamos precisar fatorar o denominador e estudar os limites laterais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
1 - x^{2} = (1 - x)(1 + x).
Logo,
\frac{x-1}{1 - x^{2}} = \frac{x-1}{(1 - x)(1 + x)}.
Observando que x-1=-(1-x), temos para x\neq\pm1:
\frac{x-1}{1 - x^{2}} = \frac{-(1-x)}{(1 - x)(1 + x)} = -\frac{1}{1 + x}.

Passo 3

Estudamos agora os limites laterais da forma simplificada -1/(1+x).
Para x\to -1^{-} (pela esquerda), temos 1+x<0 muito pequeno, então
-\frac{1}{1 + x}\to +\infty.

Passo 4

Para x\to -1^{+} (pela direita), temos 1+x>0 muito pequeno, então
-\frac{1}{1 + x}\to -\infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes +\infty\neq -\infty, não existe limite finito em x=-1.

Resposta

O limite não existe.

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