Calcule os limites se existirem. Justifique sua resposta usando a definição de limite ou algum outro resultado equivalente.
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-\mu x}, \mu>0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}e^{-\mu x},
onde \mu>0. O conteúdo envolvido é comportamento assintótico de funções exponenciais e usamos a propriedade de que e^{\mu x} cresce sem limite quando x\to\infty.

Passo 2

Repare que
e^{-\mu x} = \frac{1}{e^{\mu x}}.
Como \mu>0, a função x\mapsto e^{\mu x} é estritamente crescente e tende a +\infty quando x\to\infty.

Passo 3

Quando e^{\mu x}\to+\infty, seu recíproco tende a zero. Mais formalmente, para quaisquer \varepsilon>0 queremos um N tal que, sempre que x>N, valha
\bigl|e^{-\mu x} - 0\bigr| < \varepsilon.
Como \bigl|e^{-\mu x}\bigr| = e^{-\mu x}, basta escolher N satisfazendo
e^{-\mu N} < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad -\mu N < \ln(\varepsilon) \quad\Longleftrightarrow\quad N > \frac{-1}{\mu}\ln(\varepsilon) = \frac{1}{\mu}\ln\!\bigl(\tfrac1\varepsilon\bigr).
Isso garante que, para todo x>N, e^{-\mu x}<\varepsilon. Logo, pelo conceito de limite,
\lim_{x\to\infty}e^{-\mu x}=0.

Resposta

0

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