Mostre que a função f:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{x} é contínua. Seguidamente mostre a continuidade da função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por g(x)=\sqrt{|x|}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
\;f:[0,\infty[\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x}
é contínua em todo seu domínio, usando a definição \varepsilon–\delta. Em seguida, mostrar que
é contínua em \mathbb{R}. Para isso, vamos usar (1) desigualdade que controla \lvert\sqrt{x}-\sqrt{a}\rvert em termos de \lvert x-a\rvert, (2) caso especial em 0 e (3) a composição de funções contínuas.
Sabemos que x\mapsto\lvert x\rvert é contínua em \mathbb{R} e já vimos que f é contínua em [0,\infty[. A composição de funções contínuas é contínua, logo g é contínua em todo \mathbb{R}.
Resposta
A função f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty[ e a função g(x)=\sqrt{\lvert x\rvert} é contínua em \mathbb{R}.