Mostre que a função f:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{x} é contínua. Seguidamente mostre a continuidade da função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por g(x)=\sqrt{|x|}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
\;f:[0,\infty[\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x}
é contínua em todo seu domínio, usando a definição \varepsilon \delta. Em seguida, mostrar que
\;g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(x)=\sqrt{\lvert x\rvert}
é contínua em \mathbb{R}. Para isso, vamos usar (1) desigualdade que controla \lvert\sqrt{x}-\sqrt{a}\rvert em termos de \lvert x-a\rvert, (2) caso especial em 0 e (3) a composição de funções contínuas.

Passo 2

Seja a>0. Queremos provar que
\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}.
Note que, para x\ge0,
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| =\frac{\bigl|x-a\bigr|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \le\frac{\lvert x-a\rvert}{\sqrt{a}}
porque \sqrt{x}+\sqrt{a}\ge\sqrt{a}. Dado \varepsilon>0, basta escolher
\delta = \varepsilon\,\sqrt{a}
de modo que, se \lvert x-a\rvert<\delta, então
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| \le\frac{\lvert x-a\rvert}{\sqrt{a}} <\frac{\delta}{\sqrt{a}} =\varepsilon.
Isso mostra continuidade de f em qualquer ponto a>0.

Passo 3

Agora o ponto a=0. Temos f(0)=0 e, para x\ge0,
\bigl|\sqrt{x}-0\bigr|=\sqrt{x}.
Dado \varepsilon>0, se escolhermos
\delta = \varepsilon^2,
então 0\le x<\delta implica \sqrt{x}<\varepsilon. Logo \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0, provando continuidade em 0.

Passo 4

Juntando os casos de a>0 e a=0, concluímos que f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty[. Para g, note que
g(x)=\sqrt{\lvert x\rvert} \;=\;f\bigl(\lvert x\rvert\bigr).
Sabemos que x\mapsto\lvert x\rvert é contínua em \mathbb{R} e já vimos que f é contínua em [0,\infty[. A composição de funções contínuas é contínua, logo g é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty[ e a função g(x)=\sqrt{\lvert x\rvert} é contínua em \mathbb{R}.

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