Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
para tal que . - No ponto
o denominador é zero, portanto a função não está definida em . - A pergunta é: existe um número
tal que, quando , os valores da função se aproximem de ? Se sim, encontrar ; se não, concluir que o limite não existe.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática):
- Em limites de duas variáveis, para o limite existir é necessário que, ao aproximar
de por qualquer caminho (qualquer sequência ou curva), o valor da função sempre tenda ao mesmo número . - Um teste simples e muito usado na prova: se existirem dois caminhos que levam a
e que produzem limites diferentes, então o limite total não existe.
Vou aplicar esse teste, mostrando caminhos concretos.
Passo 3
Caminho 1: aproximar pela reta
(eixo
).
Substituindo na função, para
:
Substituindo
Portanto, ao aproximar
de
ao longo da reta
, os valores da função são constantemente
, logo o limite por esse caminho é
.
Passo 4
Caminho 2: aproximar pela reta
(eixo
).
Substituindo na função, para
:
Substituindo
Portanto, ao aproximar
de
ao longo da reta
, os valores da função são constantemente
, logo o limite por esse caminho é
.
Passo 5
Interpretação dos passos anteriores:
- Encontramos que o limite ao longo de
é . - Encontramos que o limite ao longo de
é .
Como, o valor da função depende do caminho de aproximação; pelo teste de caminhos, isso implica que o limite quando não existe.
Passo 6
Complemento (método polar, que dá uma visão mais elegante):
- Use coordenadas polares
com e ângulo. - Substituindo na função:
- Como
e cancela (para ), obtemos
- Isso mostra que, para qualquer
, o valor da função depende só de (da direção de aproximação), não de . Ao mandar (aproximar a origem), o valor limite depende de . Como existem direções com valores diferentes (por exemplo dá , dá ), o limite não pode ser único.
Passo 7
Conclusão didática rápida para a prova:
- Estratégia prática: ao ver uma razão homogênea de grau zero (mesmo grau no numerador e denominador), experimente reescrever em coordenadas polares; se o resultado depender de
, o limite em não existe. - Alternativamente, basta encontrar dois caminhos (como
e ) que dão limites distintos para concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.