Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}\neq0.
  • No ponto (0,0) o denominador é zero, portanto a função não está definida em (0,0).
  • A pergunta é: existe um número L tal que, quando (x,y)\to(0,0), os valores da função se aproximem de L? Se sim, encontrar L; se não, concluir que o limite não existe.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática):
  • Em limites de duas variáveis, para o limite existir é necessário que, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (qualquer sequência ou curva), o valor da função sempre tenda ao mesmo número L.
  • Um teste simples e muito usado na prova: se existirem dois caminhos que levam a (0,0) e que produzem limites diferentes, então o limite total não existe.
    Vou aplicar esse teste, mostrando caminhos concretos.

Passo 3

Caminho 1: aproximar pela reta y=0 (eixo x).
Substituindo y=0 na função, para x\neq0:
\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta y=0, os valores da função são constantemente 1, logo o limite por esse caminho é 1.

Passo 4

Caminho 2: aproximar pela reta x=0 (eixo y).
Substituindo x=0 na função, para y\neq0:
\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta x=0, os valores da função são constantemente -1, logo o limite por esse caminho é -1.

Passo 5

Interpretação dos passos anteriores:
  • Encontramos que o limite ao longo de y=0 é 1.
  • Encontramos que o limite ao longo de x=0 é -1.
    Como 1\neq-1, o valor da função depende do caminho de aproximação; pelo teste de caminhos, isso implica que o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Passo 6

Complemento (método polar, que dá uma visão mais elegante):
  • Use coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) com r\ge0 e \theta ângulo.
  • Substituindo na função:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}.
  • Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e r^{2} cancela (para r\neq0), obtemos
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\cos 2\theta.
  • Isso mostra que, para qualquer r>0, o valor da função depende só de \theta (da direção de aproximação), não de r. Ao mandar r\to0 (aproximar a origem), o valor limite depende de \theta. Como existem direções com valores diferentes (por exemplo \theta=0 \cos 0=1, \theta=\pi/2 \cos \pi=-1), o limite não pode ser único.

Passo 7

Conclusão didática rápida para a prova:
  • Estratégia prática: ao ver uma razão homogênea de grau zero (mesmo grau no numerador e denominador), experimente reescrever em coordenadas polares; se o resultado depender de \theta, o limite em (0,0) não existe.
  • Alternativamente, basta encontrar dois caminhos (como y=0 e x=0) que dão limites distintos para concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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