Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais são os dados. O problema solicita calcular
Informações relevantes:
- A função considerada é
definida em todos os pontos . - O ponto de interesse é
. - A pergunta é se existe um número
tal que se aproxima de quando se aproxima de por qualquer caminho.
Passo 2
Explicação do conceito de limite em duas variáveis (passo-a-passo, sem termos técnicos difíceis).
- Dizer que
significa: não importa por qual caminho em direção a eu venha (reta, parábola, curva qualquer), os valores de devem ficar arbitrariamente próximos de quando me aproximo bastante de . - Uma forma prática de testar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos. Se acharmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe.
- Se todos os caminhos testados derem o mesmo valor isso não prova definitivamente que o limite existe (é necessário provar de forma mais geral), mas encontrar caminhos distintos com resultados diferentes já é suficiente para concluir que o limite não existe.
Passo 3
Teste simples: aproximar por eixos.
- Ao aproximar por
(eixo ), substituindo em :
Assim, ao longo de
temos
- Ao aproximar por
(eixo ), substituindo:
logo
Portanto, pelas duas direções coordenadas o valor observado é
. Mas isso não garante que o limite total seja
; precisamos testar outros caminhos.
Passo 4
Teste por retas gerais
(método básico e muito útil).
- Considere a reta
, com constante (real). Substituindo em :
- Fatorando
no denominador:
- Isso mostra que, ao aproximar
pela reta , o valor da função é constante igual a (independente de ), portanto
Passo 5
Interpretação dos resultados do Passo 4 e conclusão lógica.
- Pelo Passo 4, diferentes valores de
dão, em geral, valores diferentes para o limite ao longo da reta . Exemplos: - Se
(reta ), o valor é . - Se
(reta ), o valor é . - Se
(reta ), o valor é .
- Se
- Como já encontramos pelo menos dois caminhos (por exemplo
e ) que produzem limites diferentes ( e ), isso é suficiente para concluir que não existe um único número que seja o limite quando independente do caminho. - Logo, o limite pedido não existe.
Passo 6
Observação alternativa (ajuda a intuir o comportamento): uso de coordenadas polares.
- Troca para coordenadas polares:
, com e o ângulo. - Substituindo em
:
- Como
, simplifica-se para
- Note que essa expressão não depende de
: ao enviar (ou seja, aproximar-se da origem) o valor limite depende só de . Como há diferentes que dão valores distintos (por exemplo dá 0, dá ), isso confirma que o limite quando depende da direção e, portanto, não existe um limite único.
Resposta
O limite não existe.