Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais são os dados. O problema solicita calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}} definida em todos os pontos (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A pergunta é se existe um número L tal que f(x,y) se aproxima de L quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho.

Passo 2

Explicação do conceito de limite em duas variáveis (passo-a-passo, sem termos técnicos difíceis).
  • Dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa: não importa por qual caminho em direção a (0,0) eu venha (reta, parábola, curva qualquer), os valores de f(x,y) devem ficar arbitrariamente próximos de L quando me aproximo bastante de (0,0).
  • Uma forma prática de testar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos. Se acharmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe.
  • Se todos os caminhos testados derem o mesmo valor isso não prova definitivamente que o limite existe (é necessário provar de forma mais geral), mas encontrar caminhos distintos com resultados diferentes já é suficiente para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Teste simples: aproximar por eixos.
  • Ao aproximar por y=0 (eixo x), substituindo em f:
f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0.
Assim, ao longo de y=0 temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ com }y=0} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.
  • Ao aproximar por x=0 (eixo y), substituindo:
f(0,y)=\frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}=0,
logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ com }x=0} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.
Portanto, pelas duas direções coordenadas o valor observado é 0. Mas isso não garante que o limite total seja 0; precisamos testar outros caminhos.

Passo 4

Teste por retas gerais y=mx (método básico e muito útil).
  • Considere a reta y=mx, com m constante (real). Substituindo em f:
f(x,mx)=\frac{x\cdot (mx)}{x^{2}+(mx)^{2}}=\frac{m x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}.
  • Fatorando x^{2} no denominador:
f(x,mx)=\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m}{1+m^{2}}, \qquad \text{para }x\neq 0.
  • Isso mostra que, ao aproximar (0,0) pela reta y=mx, o valor da função é constante igual a \dfrac{m}{1+m^{2}} (independente de x), portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ com }y=mx} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{m}{1+m^{2}}.

Passo 5

Interpretação dos resultados do Passo 4 e conclusão lógica.
  • Pelo Passo 4, diferentes valores de m dão, em geral, valores diferentes para o limite ao longo da reta y=mx. Exemplos:
    • Se m=0 (reta y=0), o valor é \dfrac{0}{1+0}=0.
    • Se m=1 (reta y=x), o valor é \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
    • Se m=-1 (reta y=-x), o valor é \dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}.
  • Como já encontramos pelo menos dois caminhos (por exemplo m=0 e m=1) que produzem limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{2}), isso é suficiente para concluir que não existe um único número L que seja o limite quando (x,y)\to(0,0) independente do caminho.
  • Logo, o limite pedido não existe.

Passo 6

Observação alternativa (ajuda a intuir o comportamento): uso de coordenadas polares.
  • Troca para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge 0 e \theta o ângulo.
  • Substituindo em f:
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}.
  • Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, simplifica-se para
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), \qquad \text{para }r\neq 0.
  • Note que essa expressão não depende de r: ao enviar r\to 0 (ou seja, aproximar-se da origem) o valor limite depende só de \theta. Como há diferentes \theta que dão valores distintos (por exemplo \theta=0 dá 0, \theta=\pi/4 1/2), isso confirma que o limite quando (x,y)\to(0,0) depende da direção e, portanto, não existe um limite único.

Resposta

O limite não existe.

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