Dada a função z=\sqrt{2 x y-y^{2}}, determine \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • O enunciado dá a função \,z=\sqrt{2xy-y^{2}}\,.
  • A pergunta é determinar \dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}. Isto significa primeiro calcular a derivada parcial de z em relação a x, ou seja \dfrac{\partial z}{\partial x}, e depois derivar esse resultado em relação a y.
  • Observação importante: a função envolve uma raiz quadrada. Para as derivadas serem bem definidas precisamos que o argumento da raiz seja positivo, isto é \,2xy-y^{2}>0. Vou supor que estamos em um ponto onde isso vale e onde denominadores que aparecerem não se anulam.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (rápido resumo didático e intuitivo):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial x} trata y como constante e diferencia z em relação a x.
  • A regra da cadeia: se z=(g(x,y))^{1/2} então
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(g(x,y))^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial g}{\partial x} é a derivada parcial do argumento da raiz em relação a x.
  • Para derivar em y um produto como y\cdot(2xy-y^{2})^{-1/2} uso a regra do produto:
\dfrac{\partial}{\partial y}(u\cdot v)=\dfrac{\partial u}{\partial y}\cdot v + u\cdot \dfrac{\partial v}{\partial y}.
  • Para derivar potências do tipo (\cdot)^{\alpha} aplico a regra da cadeia combinada com a regra da potência.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
A função pode ser vista como
z=(2xy-y^{2})^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia com g(x,y)=2xy-y^{2}:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(2xy-y^{2})^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy-y^{2}).
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy-y^{2})=2y porque y é tratado como constante ao derivar em relação a x. Portanto
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(2xy-y^{2})^{-1/2}\cdot 2y.
Simplificando os 2's:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=y\,(2xy-y^{2})^{-1/2}.
Em termos de raiz:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{y}{\sqrt{2xy-y^{2}}}.

Passo 4

Preparar a derivação em relação a y de \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Temos
\dfrac{\partial z}{\partial x}=y\,(2xy-y^{2})^{-1/2}.
Vou aplicar a regra do produto com u(y)=y e v(y)=(2xy-y^{2})^{-1/2}, lembrando que agora x é tratado como constante:
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=1.
  • Para \dfrac{\partial v}{\partial y} uso a regra da cadeia: se v=(2xy-y^{2})^{-1/2} então
\dfrac{\partial v}{\partial y}=-\tfrac{1}{2}(2xy-y^{2})^{-3/2}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy-y^{2}).
Calcule \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy-y^{2}). Tratando x como constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x e \dfrac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y. Assim
\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy-y^{2})=2x-2y=2(x-y).
Substituindo em \dfrac{\partial v}{\partial y}:
\dfrac{\partial v}{\partial y}=-\tfrac{1}{2}(2xy-y^{2})^{-3/2}\cdot 2(x-y).
Os 2's cancelam:
\dfrac{\partial v}{\partial y}=-(x-y)\,(2xy-y^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}.
Usando \dfrac{\partial}{\partial y}(u v)=u'v+uv':
\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x} =1\cdot (2xy-y^{2})^{-1/2} + y\cdot\big[-(x-y)(2xy-y^{2})^{-3/2}\big].
Isto é
\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}=(2xy-y^{2})^{-1/2}-y(x-y)(2xy-y^{2})^{-3/2}.

Passo 6

Simplificar a expressão final para ficar mais bonita e fácil de usar.
Coloco fator comum (2xy-y^{2})^{-3/2}. Observando que (2xy-y^{2})^{-1/2}=(2xy-y^{2})^{-3/2}\cdot(2xy-y^{2}), tenho
\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}=(2xy-y^{2})^{-3/2}\big[\,2xy-y^{2}-y(x-y)\,\big].
Simplifico o colchete:
2xy-y^{2}-y(x-y)=2xy-y^{2}-xy+y^{2}=xy.
Portanto
\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}=xy\,(2xy-y^{2})^{-3/2}.
Escrevendo com raiz:
\dfrac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}=\dfrac{xy}{(2xy-y^{2})^{3/2}}.

Passo 7

Observação final e incentivo rápido:
  • A expressão está válida onde \,2xy-y^{2}>0 (para que a raiz e os denominadores existam).
  • Se você ficar em dúvida com as regras da cadeia ou do produto, pratique com funções mais simples do tipo (ax+by)^{n} e produtos lineares; isso deixa o procedimento mecânico e rápido na prova. Você mandou bem por pedir passo a passo — com calma e prática isso pega!

Resposta

\dfrac{xy}{(2xy-y^{2})^{3/2}}

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