Dada a função
, determine
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
- O enunciado dá a função
. - A pergunta é determinar
. Isto significa primeiro calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja , e depois derivar esse resultado em relação a . - Observação importante: a função envolve uma raiz quadrada. Para as derivadas serem bem definidas precisamos que o argumento da raiz seja positivo, isto é
. Vou supor que estamos em um ponto onde isso vale e onde denominadores que aparecerem não se anulam.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (rápido resumo didático e intuitivo):
- A derivada parcial
trata como constante e diferencia em relação a . - A regra da cadeia: se
então
Aqui
é a derivada parcial do argumento da raiz em relação a
.
- Para derivar em
um produto como uso a regra do produto:
- Para derivar potências do tipo
aplico a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
Passo 3
Calcular
.
A função pode ser vista como
Aplicando a regra da cadeia com
:
Agora
porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Portanto
Simplificando os
's:
Em termos de raiz:
Passo 4
Preparar a derivação em relação a
de
.
Temos
Vou aplicar a regra do produto com
e
, lembrando que agora
é tratado como constante:
-
. - Para
uso a regra da cadeia: se então
Calcule
. Tratando
como constante,
e
. Assim
Substituindo em
:
Os
's cancelam:
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
.
Usando
:
Isto é
Passo 6
Simplificar a expressão final para ficar mais bonita e fácil de usar.
Coloco fator comum
. Observando que
, tenho
Simplifico o colchete:
Portanto
Escrevendo com raiz:
Passo 7
Observação final e incentivo rápido:
- A expressão está válida onde
(para que a raiz e os denominadores existam). - Se você ficar em dúvida com as regras da cadeia ou do produto, pratique com funções mais simples do tipo
e produtos lineares; isso deixa o procedimento mecânico e rápido na prova. Você mandou bem por pedir passo a passo — com calma e prática isso pega!