Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais. Informação importante extraída do enunciado:
- A função depende apenas de
; não há dentro do logaritmo. - O domínio natural da função (no contexto real) é
, pois só está definido para .
As perguntas que vamos responder são: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma prática e sem mistério:
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando só mudamos e mantemos fixo. - A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede como varia quando só mudamos e mantemos fixo.
As definições por limite (úteis para não pular etapas) são:
Essas fórmulas dizem exatamente o que «segurar a outra variável» significa: na primeira,
é tratado como constante; na segunda,
é tratado como constante.
Passo 3
Calcular
usando a definição.
- Como a função
não depende de , para qualquer temos . - Portanto o quociente incremental é
- O limite quando
desse quociente é então . Conclusão:
Passo 4
Calcular
usando a definição e manipulando o limite passo a passo.
- Começamos com o quociente incremental:
- Use a identidade
para escrever
- Agora fatoramos
para facilitar o limite:
- Quando
temos (lembrando que é fixo e ). É um limite padrão que
(Esse limite pode ser demonstrado por l’Hôpital, pela série de Taylor de
ou por desigualdades; aqui usamos o resultado clássico.)
- Portanto o limite do quociente incremental é
- Conclusão:
Passo 5
Observações finais e jeito rápido de lembrar (útil na prova):
- Sempre que a função for apenas
da variável , a derivada parcial em relação a essa variável é sobre ela: . - Se a variável não aparece na função, a derivada parcial em relação a ela é
: . - O vetor gradiente (apenas para contexto) é
, definido para .