Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y)=\ln y

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln y e pede para determinar as derivadas parciais. Informação importante extraída do enunciado:
  • A função depende apenas de y; não há x dentro do logaritmo.
  • O domínio natural da função (no contexto real) é \,y>0, pois \ln y só está definido para y>0.
    As perguntas que vamos responder são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma prática e sem mistério:
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só mudamos x e mantemos y fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, escrita \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f varia quando só mudamos y e mantemos x fixo.
As definições por limite (úteis para não pular etapas) são:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Essas fórmulas dizem exatamente o que «segurar a outra variável» significa: na primeira, y é tratado como constante; na segunda, x é tratado como constante.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) usando a definição.
  • Como a função f(x,y)=\ln y não depende de x, para qualquer h temos f(x+h,y)=\ln y=f(x,y).
  • Portanto o quociente incremental é
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{\ln y-\ln y}{h}=0.
  • O limite quando h\to0 desse quociente é então 0. Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\quad\text{(para todo \(y>0\))}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) usando a definição e manipulando o limite passo a passo.
  • Começamos com o quociente incremental:
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{\ln(y+h)-\ln y}{h}.
  • Use a identidade \ln a-\ln b=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) para escrever
\frac{\ln(y+h)-\ln y}{h}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{y+h}{y}\right)}{h}=\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{y}\right)}{h}.
  • Agora fatoramos 1/y para facilitar o limite:
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{y}\right)}{h}=\frac{1}{y}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{y}\right)}{\dfrac{h}{y}}.
  • Quando h\to0 temos \dfrac{h}{y}\to0 (lembrando que y é fixo e y>0). É um limite padrão que
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
(Esse limite pode ser demonstrado por l’Hôpital, pela série de Taylor de \ln(1+t) ou por desigualdades; aqui usamos o resultado clássico.)
  • Portanto o limite do quociente incremental é
\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{y}\right)}{h}=\frac{1}{y}\cdot 1=\frac{1}{y}.
  • Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{y}\quad\text{para todo \(y>0\)}.

Passo 5

Observações finais e jeito rápido de lembrar (útil na prova):
  • Sempre que a função for apenas \ln da variável y, a derivada parcial em relação a essa variável é 1 sobre ela: \dfrac{\partial}{\partial y}\ln y=\dfrac{1}{y}.
  • Se a variável não aparece na função, a derivada parcial em relação a ela é 0: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln y=0.
  • O vetor gradiente (apenas para contexto) é \nabla f(x,y)=\left(0,\dfrac{1}{y}\right), definido para y>0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{1}{y}

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