Suponha que, ao preço de 1,00 áé\mathrm{R} $0,60 çx úãçT(x) L(x)$, respectivamente, o valor total da venda e o lucro total obtido semanalmente com a venda das latas.
C E a) Retirando-se centavos do preço de cada lata, o número de latas vendidas
semanalmente é igual a .
C E
b) .
C E
c) O lucro semanal obtido quando são reduzidos 8 centavos do preço de cada lata é inferior a R$ 220,00.
\section*{
C E
}
d) A função possui dois pontos críticos.
\section*{
C E
}
e) O preço de venda de cada lata de refrigerante para que o lucro semanal seja máximo é inferior a 0,95$.

Passo 1

O enunciado fala de uma loja que vende inicialmente 500 latas por semana a R$1,00 cada, com custo unitário de R$0,60. Se reduzimos x centavos no preço, a quantidade vendida aumenta em 25 latas por centavo. Vamos modelar:
– Preço de venda em reais:
p(x)=1-0,01,x
– Quantidade vendida:
q(x)=500+25,x
A partir daí definimos a receita T(x)=p(x),q(x) e o lucro
L(x)=T(x)-0,60,q(x)
Com isso, checamos cada afirmação.

Passo 2

a) A expressão q(x)=500+25,x coincide com “ 500 latas mais 25 por centavo reduzido”, logo é correta (C).
b) A receita semanal é
T(x)=p(x),q(x)=(1-0,01x)(500+25x),
exatamente a dada, logo também é correta (C).

Passo 3

c) Para x=8:
q(8)=500+25cdot 8=700, p(8)=1-0,01cdot 8=0,92,
T(8)=0,92cdot 700=644, L(8)=644-0,60cdot 700=644-420=224
Como 224>220, a afirma\c{c}~ao “ o lucro `e inferior a R$, 220,00”\ `e errada (E).

Passo 4

d) Vamos escrever L(x) em forma de quadrática:
L(x)=(0,4-0,01x)(500+25x)=200+5x-0,25x^2
Uma função quadrática tem no máximo um ponto crítico (o vértice). Portanto “dois pontos críticos” é errado (E).

Passo 5

e) O lucro máximo ocorre no vértice de
;L(x)=-0,25x^2+5x+200;
em
x^*=-52cdot(-0,25)=10
O preço ótimo é
p(10)=1-0,01cdot10=0,90<0,95
Logo a afirmação é correta (C).

Resposta

a) C
b) C
c) E
d) E
e) C

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