Calcule os limites, se existirem (como números reais):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é limites de funções e uso de continuidade de funções elementares.

Passo 2

Observamos que para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}+1>0, logo a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+1}
é bem definida para todo x. Além disso, x\mapsto x^{2}+1 é contínua e nunca nula, e \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty). A composição e o quociente de funções contínuas (com denominador não nulo) é contínuo. Portanto, podemos calcular o limite substituindo x=0.

Passo 3

Substituindo x=0 em f(x), obtemos
f(0)=\frac{\sqrt{0^{2}+1}}{0^{2}+1}=\frac{\sqrt{1}}{1}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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