Calcule os limites laterais, se existirem (como números reais, ou \infty, ou -\infty ):
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to1^-}\frac{x}{x^2-1}
ou seja, estamos em um caso de limite de função racional em que o denominador tende a zero. Para resolver, vamos usar fatoração e análise de sinal dos fatores próximos de x=1.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-1 = (x-1)(x+1).
Quando x\to1^-, temos x-1\to0^- (um valor pequeno negativo) e x+1\to2^+ (aproximadamente 2, positivo).

Passo 3

O numerador \,x aproxima-se de 1 quando x\to1^-. Logo, numerador é um valor positivo próximo de 1.

Passo 4

Juntando:
  • Numerador \approx +1.
  • Denominador \approx (0^-)\cdot(2^+)=0^- (pequeno negativo).
Portanto a razão tende a um número negativo de módulo crescente sem limite superior, isto é,
\frac{x}{x^2-1}\;\longrightarrow\;-\infty
quando x\to1^-.

Resposta

-\infty

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