Calcule os limites.
(f)

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto05^x-4^x3^x-2^x. O conteúdo envolvido é limites de funções exponenciais na forma de indeterminação tfrac00, e vamos usar a regra de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador para resolver esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma de indeterminação ao xto0. Como 5^0=4^0=3^0=2^0=1, temos
5^x-4^xto0 e 3^x-2^xto0,
logo a expressão é tfrac00.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x. Sabendo que tfracddxa^x = a^xln a, obtemos
ddxl(5^x-4^xr)=5^xln5-4^xln4, ddxl(3^x-2^xr)=3^xln3-2^xln2

Passo 4

Substituímos x=0 nas derivadas encontradas:
5^0ln5-4^0ln4=ln5-ln4, 3^0ln3-2^0ln2=ln3-ln2
Portanto, aplicando l’Hôpital, o limite é
ln5-ln4ln3-ln2

Resposta

limxto05^x-4^x3^x-2^x =ln5-ln4ln3-ln2

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