sumn=1^infty 5+2 n(1+n^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
O conteúdo principal aqui é a técnica de soma de séries racionais pelo teorema dos resíduos em análise complexa. Vamos usar a função meromorfa
e um grande retângulo no plano complexo para mostrar que

Passo 2

Identificamos os pólos de :
  1. Simples em , , vindos de .
  2. Duplos em , vindos de .
    Em contorno adequado, o integral de ao redor de todos estes pólos tende a zero quando expandimos muito o retângulo. Portanto

Passo 3

Vamos calcular . Como em temos pólo de ordem 2, usamos
Note que
pois .
Fazendo a derivada e avaliando em (e, de forma análoga, em ), obtemos após simplificações envolvendo
e ,
os resultados fechados:

Passo 4

Somando as partes imaginárias se cancelam e ficamos com
Logo, pelo passo 2,

Passo 5

Podemos ainda reescrever em termos de e , mas a forma mais direta e limpa é deixar em hiperbólicos:

Resposta

Exercícios relacionados