Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
O conteúdo principal aqui é a técnica de soma de séries racionais pelo teorema dos resíduos em análise complexa. Vamos usar a função meromorfa
e um grande retângulo no plano complexo para mostrar que
Passo 2
Identificamos os pólos de
:
- Simples em
, , vindos de . - Duplos em
, vindos de .
Em contorno adequado, o integral deao redor de todos estes pólos tende a zero quando expandimos muito o retângulo. Portanto
Passo 3
Vamos calcular . Como em
temos pólo de ordem 2, usamos
Note que
pois
.
Fazendo a derivada e avaliando em (e, de forma análoga, em
), obtemos após simplificações envolvendo
e ,
os resultados fechados:
Fazendo a derivada e avaliando em
os resultados fechados:
Passo 4
Somando as partes imaginárias se cancelam e ficamos com
Logo, pelo passo 2,
Passo 5
Podemos ainda reescrever em termos de
e
, mas a forma mais direta e limpa é deixar em hiperbólicos: