Calcule os limites das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites de três funções conforme
se aproxima de 0. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especialmente aplicando propriedades das funções exponenciais. Vamos precisar entender como as funções se comportam quando a variável se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Aqui, a função é
. Sabemos que exponenciais têm a propriedade de que se a base
está elevada a alguma expressão, podemos separar os termos no expoente.
Então, podemos reescrever a expressão:
Agora, vamos analisar cada parte:
-
: Conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então se aproxima de . -
: Isso é uma constante, aproximadamente 0,1353.
Multiplicando os limites:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
A função aqui é
. Sabemos que
, então basta substituir
por 0:
Portanto,
Passo 4
Por último, vamos calcular o terceiro limite:
Essa expressão é uma forma conhecida de derivada da função
no ponto
. Mas mesmo que você não tenha estudado derivadas ainda, podemos resolver observando o comportamento da função.
Sabemos que, quando
se aproxima de 0, a expansão de
em série de Taylor é:
Substituindo na expressão original:
À medida que
se aproxima de 0, todos os termos que contêm
vão para 0, restando apenas 1.
Portanto,
Resposta
Os limites das funções são: