Calcule os limites das funções.
lim t 0(e^t^2-2, e^-t, e^t-1t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites de três funções conforme t se aproxima de 0. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especialmente aplicando propriedades das funções exponenciais. Vamos precisar entender como as funções se comportam quando a variável se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limt 0 e^t^2 - 2
Aqui, a função é e^t^2 - 2 . Sabemos que exponenciais têm a propriedade de que se a base e está elevada a alguma expressão, podemos separar os termos no expoente.
Então, podemos reescrever a expressão:
e^t^2 - 2 = e^t^2 cdot e^-2
Agora, vamos analisar cada parte:
  • e^t^2 : Conforme t se aproxima de 0, t^2 também se aproxima de 0, então e^t^2 se aproxima de e^0 = 1 .
  • e^-2 : Isso é uma constante, aproximadamente 0,1353.
Multiplicando os limites:
limt 0 e^t^2 cdot e^-2 = 1 cdot e^-2 = e^-2

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
limt 0 e^-t
A função aqui é e^-t . Sabemos que e^0 = 1 , então basta substituir t por 0:
e^-0 = e^0 = 1
Portanto,
limt 0 e^-t = 1

Passo 4

Por último, vamos calcular o terceiro limite:
limt 0 e^t - 1t
Essa expressão é uma forma conhecida de derivada da função e^t no ponto t = 0 . Mas mesmo que você não tenha estudado derivadas ainda, podemos resolver observando o comportamento da função.
Sabemos que, quando t se aproxima de 0, a expansão de e^t em série de Taylor é:
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + dots
Substituindo na expressão original:
e^t - 1t = 1 + t + t^22! + dots - 1t = t + t^22! + dotst = 1 + t2! + dots
À medida que t se aproxima de 0, todos os termos que contêm t vão para 0, restando apenas 1.
Portanto,
limt 0 e^t - 1t = 1

Resposta

Os limites das funções são:
( e^-2, 1, 1 )

Exercícios relacionados