Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 4y' - 5y = 0
Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt , onde r é uma constante que precisamos determinar. Derivando essa forma:
y' = re^rt
y'' = r^2e^rt
Passo 3
Substituindo y , y' e y'' na equação diferencial, temos:
r^2e^rt - 4re^rt - 5e^rt = 0
Fatorando e^rt (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - 4r - 5 = 0
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
r^2 - 4r - 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1
r = 4 pm raiz16 + 202
r = 4 pm raiz362
r = 4 pm 62
Então, temos duas raízes:
r1 = 4 + 62 = 5
r2 = 4 - 62 = -1
Passo 5
Com as raízes r1 = 5 e r2 = -1 , a solução geral da equação homogênea é:
y(t) = C1e^5t + C2e^-t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais:
y(1) = 0 :
0 = C1e^5 cdot 1 + C2e^-1
0 = C1e^5 + C2e^-1
y'(1) = 2 :
Primeiro, encontramos a derivada de y(t) :
y'(t) = 5C1e^5t - C2e^-t
Aplicando t = 1 :
2 = 5C1e^5 - C2e^-1
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
C1e^5 + C2e^-1 = 0 5C1e^5 - C2e^-1 = 2
Vamos somar as duas equações para eliminar C2e^-1 :