Resolva os PVIs dados.
ly^prime prime+y^prime+2 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y''+y'+2y=0,
sujeita às condições y(0)=0 e y'(0)=0. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a !y''+y'+2y=0, que é
r^2 + r + 2 = 0
Resolvendo para r:
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm iraiz72

Passo 3

Como as raízes são complexas r = -tfrac12 pm i,tfracraiz72, a solução geral é
y(x) = e^-x/2l(C1cos!l(tfracraiz72xr) +C2sin!l(tfracraiz72xr)r)

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando por x:
y'(x) = -tfrac12,e^-x/2l(C1cos(tfracraiz72x)+C2sin(tfracraiz72x)r) +e^-x/2l(-C1tfracraiz72sin(tfracraiz72x) +C2tfracraiz72cos(tfracraiz72x)r)

Passo 5

Impondo y(0)=0 na solução geral, obtém-se
y(0)=C1=0
Em seguida, impondo y'(0)=0:
y'(0)=-tfrac12C1+tfracraiz72C2 =tfracraiz72C2=0 ;Longrightarrow;C2=0

Resposta

y(x)=0

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