Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.
integralpi / 4^pi / 3 cos x d x

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos a Propriedade 8, que diz que se f é contínua em [a,b] e atinge mínimom m e máximom M nesse intervalo, então
m,(b-a);<=;integrala^bf(x),dx;<=;M,(b-a)
Aqui temos f(x)=cos x em l[pi/4,;pi/3r].

Passo 2

Observamos que cos x é contínua e estritamente decrescente em [,0,pi,], logo também em l[pi/4,pi/3r]. Portanto
m=minxin[pi/4,pi/3]cos x=cosl(pi/3r)=tfrac12,
M=maxxin[pi/4,pi/3]cos x=cosl(pi/4r)=tfracraiz22

Passo 3

Calculamos o comprimento do intervalo:
b-a=pi3-pi4=4pi-3pi12=pi12

Passo 4

Aplicando a Propriedade 8, obtemos
12cdotpi12 ;<=;integralpi/4^pi/3cos x,dx ;<=;raiz22cdotpi12
Isso simplifica para
pi24 ;<=;integralpi/4^pi/3cos x,dx ;<=;raiz2,pi24

Passo 5

Para termos uma ideia numérica,
pi24approx0,131 e raiz2,pi24approx0,185
E de fato o valor exato é
integralpi/4^pi/3cos x,dx =sinl(tfracpi3r)-sinl(tfracpi4r) =raiz32-raiz22approx0,159,
que fica bem dentro dos limites.

Resposta

pi24 ;<=;integralpi/4^pi/3cos x,dx ;<=;raiz2,pi24

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