Mostre que o volume do toro gerado pela rotação do círculo x^2 + (y - b)^2 = a^2, 0 < a < b, em torno de O X, vale V = 2 * pi^2 * a^2 * b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Geometria Analítica que pede para mostrar que o volume de um toro (aquele formato de anel) gerado pela rotação de um círculo dado pela equação , onde , em torno do eixo , é igual a . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos de rotação, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos gerados pela rotação de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o círculo que está sendo rotacionado. A equação representa um círculo com centro no ponto e raio . Esse círculo está posicionado acima do eixo porque .

Passo 3

Quando rotacionamos esse círculo em torno do eixo , ele gera um toro. Para encontrar o volume desse toro, vamos considerar uma pequena fatia do círculo com espessura a uma altura acima do eixo .

Passo 4

A distância de cada ponto dessa fatia ao eixo de rotação é igual a . O volume de cada fatia girada é, então, a área do círculo dessa fatia multiplicada pela distância que ela percorre durante a rotação, que é .

Passo 5

A área de cada fatia é a largura multiplicada pela espessura . Mas, para simplificar, vamos usar a integração para somar todos esses volumes infinitesimais. A fórmula geral para o volume por rotação em torno do eixo é:

Passo 6

Vamos resolver a equação do círculo para :
Então, o diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 7

Substituindo na integral do volume:
Observamos que o intervalo de integração vai de a , que são os limites inferiores e superiores do círculo.

Passo 8

Para simplificar a integral, fazemos a substituição , então e os limites de integração ficam de a . A integral fica:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
Notamos que a segunda parte da integral é ímpar (função ímpar integrada simétrica em torno de zero), então seu valor será zero. Portanto, restamos apenas com:

Passo 10

Devido à simetria da função, podemos multiplicar a integral de 0 a por 2:

Passo 11

Fazemos uma substituição trigonométrica , então e . A integral se torna:

Passo 12

Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:

Passo 13

Substituindo de volta na expressão do volume:
O sinal negativo indica que o volume é positivo, então:

Resposta

O volume do toro é .

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