Mostre que o volume do toro gerado pela rotação do círculo
, em torno de
, vale
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Geometria Analítica que pede para mostrar que o volume de um toro (aquele formato de anel) gerado pela rotação de um círculo dado pela equação
, onde
, em torno do eixo
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos de rotação, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos gerados pela rotação de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo que está sendo rotacionado. A equação
representa um círculo com centro no ponto
e raio
. Esse círculo está posicionado acima do eixo
porque
.
Passo 3
Quando rotacionamos esse círculo em torno do eixo
, ele gera um toro. Para encontrar o volume desse toro, vamos considerar uma pequena fatia do círculo com espessura
a uma altura
acima do eixo
.
Passo 4
A distância de cada ponto dessa fatia ao eixo de rotação
é igual a
. O volume de cada fatia girada é, então, a área do círculo dessa fatia multiplicada pela distância que ela percorre durante a rotação, que é
.
Passo 5
A área de cada fatia é a largura
multiplicada pela espessura
. Mas, para simplificar, vamos usar a integração para somar todos esses volumes infinitesimais. A fórmula geral para o volume por rotação em torno do eixo
é:
Passo 6
Vamos resolver a equação do círculo para
:
Então, o diferencial
é a derivada de
em relação a
:
Passo 7
Substituindo
na integral do volume:
Observamos que o intervalo de integração vai de
a
, que são os limites inferiores e superiores do círculo.
Passo 8
Para simplificar a integral, fazemos a substituição
, então
e os limites de integração ficam de
a
. A integral fica:
Passo 9
Expandindo a expressão dentro da integral:
Notamos que a segunda parte da integral é ímpar (função ímpar integrada simétrica em torno de zero), então seu valor será zero. Portanto, restamos apenas com:
Passo 10
Devido à simetria da função, podemos multiplicar a integral de 0 a
por 2:
Passo 11
Fazemos uma substituição trigonométrica
, então
e
. A integral se torna:
Passo 12
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Passo 13
Substituindo de volta na expressão do volume:
O sinal negativo indica que o volume é positivo, então:
Resposta
O volume do toro é
.