Calcule os limites das funções abaixo.
a) lim x 5 2-raizx-1x^2-25

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o limite . Aqui a gente vai usar conceitos de limites e álgebra básica, como fatoração e racionalização. Precisamos simplificar a expressão para conseguir calcular o limite quando se aproxima de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2 - raiz5 - 15^2 - 25 = 2 - raiz425 - 25 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente pegou uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
2 - raizx - 1(x - 5)(x + 5)
Então, agora nossa expressão fica:

Passo 4

Para lidar com o numerador 2 - raizx - 1(x - 5)(x + 5) times 2 + raizx - 12 + raizx - 1 = (2 - raizx - 1)(2 + raizx - 1)(x - 5)(x + 5)(2 + raizx - 1) , vamos racionalizar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado (2)^2 - (raizx - 1)^2 = 4 - (x - 1) = 5 - x :
5 - x(x - 5)(x + 5)(2 + raizx - 1)
No numerador, aplicamos a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Observando o numerador -(x - 5)(x - 5)(x + 5)(2 + raizx - 1) = -1(x + 5)(2 + raizx - 1) e o denominador -1(x + 5)(2 + raizx - 1) , podemos reescrever . Assim:
Agora, podemos cancelar no numerador e denominador. A expressão simplificada é:

Resposta

Finalmente, substituindo -1(5 + 5)(2 + raiz5 - 1) = -110 times (2 + 2) = -110 times 4 = -140 :
Então, o limite é .

Exercícios relacionados