Encontre o domínio, a imagem e as 3 curvas de nível da função:
f(x, y)=ln (x+y-3)

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio, a imagem e as três curvas de nível da função f(x, y) = ln(x + y - 3) . Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e curvas de nível para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x e y que fazem a expressão dentro do logaritmo ser positiva, porque o logaritmo só aceita números maiores que zero.

Passo 3

Então, temos que garantir que:
x + y - 3 > 0
Resolvendo essa desigualdade:
x + y > 3
Isso significa que qualquer par (x, y) que satisfaça essa condição está no domínio da função.

Passo 4

Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como o logaritmo natural ln(z) pode assumir qualquer valor real, desde que z > 0 , a imagem da nossa função também será todos os números reais.

Passo 5

Por fim, vamos determinar as três curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos (x, y) que produzem o mesmo valor de f(x, y) . Vamos escolher três valores diferentes para f(x, y) e resolver para y .

Passo 6

Escolhemos três valores para f(x, y) , por exemplo, k = 1 , k = 2 e k = 3 .
Para k = 1 :
ln(x + y - 3) = 1 x + y - 3 = e^1 x + y = e + 3
Para k = 2 :
ln(x + y - 3) = 2 x + y - 3 = e^2 x + y = e^2 + 3
Para k = 3 :
ln(x + y - 3) = 3 x + y - 3 = e^3 x + y = e^3 + 3

Resposta

  • Domínio: x + y > 3
  • Imagem: R (todos os números reais)
  • Três curvas de nível:
    1. x + y = e + 3
    2. x + y = e^2 + 3
    3. x + y = e^3 + 3

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