Encontre o domínio, a imagem e as 3 curvas de nível da função:
f(x, y)=raiz1+xy^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem e três curvas de nível da função f(x, y) = raiz1 + xy^2 + 1 . Para isso, vamos precisar lembrar de algumas ideias de funções, radiciação e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares (x, y) que fazem a função valer uma coisa de boa, sem ficar com números imaginários ou divisão por zero.
A função tem uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
1 + xy^2 + 1 >= 0
Sabemos que y^2 + 1 nunca é negativo porque y^2 é sempre positivo ou zero, e somando 1, fica pelo menos 1. Então, a fração será positiva se o numerador 1 + x for também positivo ou zero:
1 + x >= 0 implies x >= -1
Então, o domínio é todos os números reais para y , desde que x seja maior ou igual a -1.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que f(x, y) pode assumir.
Como a função envolve uma raiz quadrada, sabemos que f(x, y) só pode ser não negativa:
f(x, y) >= 0
Além disso, 1 + x pode crescer até o infinito quando x aumenta, e y^2 + 1 também cresce com y , mas como x pode ser tão grande quanto quisermos, a função pode crescer sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos:
Ima>=m = [0, +infty)

Passo 4

Vamos agora encontrar três curvas de nível da função. As curvas de nível são os conjuntos de pontos (x, y) que deixam a função constante. Ou seja, fixamos um valor c e resolvemos f(x, y) = c .
Então, temos:
raiz1 + xy^2 + 1 = c
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 + xy^2 + 1 = c^2
Multiplicando ambos os lados por y^2 + 1 :
1 + x = c^2 (y^2 + 1)
Isolando x :
x = c^2 y^2 + c^2 - 1
Vamos escolher três valores para c : 1, 2 e 3.
  1. Para c = 1 :
x = 1 cdot y^2 + 1 - 1 implies x = y^2
Essa é uma parábola com abertura para a direita.
  1. Para c = 2 :
x = 4 cdot y^2 + 4 - 1 implies x = 4y^2 + 3
Outra parábola, mais “esticada” e deslocada para a direita.
  1. Para c = 3 :
x = 9 cdot y^2 + 9 - 1 implies x = 9y^2 + 8
Mais uma parábola ainda mais “esticada” e deslocada.
Essas curvas mostram como a função se comporta para diferentes valores de c .

Resposta

  • Domínio: x >= -1
  • Imagem: [0, +infty)
  • Curvas de nível:
    1. x = y^2
    2. x = 4y^2 + 3
    3. x = 9y^2 + 8

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