Encontre o domínio, a imagem e as 3 curvas de nível da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem e três curvas de nível da função
. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas ideias de funções, radiciação e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares
que fazem a função valer uma coisa de boa, sem ficar com números imaginários ou divisão por zero.
A função tem uma raiz quadrada, então o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Sabemos que
nunca é negativo porque
é sempre positivo ou zero, e somando 1, fica pelo menos 1. Então, a fração será positiva se o numerador
for também positivo ou zero:
Então, o domínio é todos os números reais para
, desde que
seja maior ou igual a
.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Como a função envolve uma raiz quadrada, sabemos que
só pode ser não negativa:
Além disso,
pode crescer até o infinito quando
aumenta, e
também cresce com
, mas como
pode ser tão grande quanto quisermos, a função pode crescer sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos:
Passo 4
Vamos agora encontrar três curvas de nível da função. As curvas de nível são os conjuntos de pontos
que deixam a função constante. Ou seja, fixamos um valor
e resolvemos
.
Então, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Vamos escolher três valores para
: 1, 2 e 3.
- Para
:
Essa é uma parábola com abertura para a direita.
- Para
:
Outra parábola, mais “esticada” e deslocada para a direita.
- Para
:
Mais uma parábola ainda mais “esticada” e deslocada.
Essas curvas mostram como a função se comporta para diferentes valores de
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Curvas de nível:
-