Calcule os limites das funções dadas

Passo 1

Enunciado: calcular limxto0cot 2x,cotl(tfracpi2-xr). O conteúdo envolve limites em funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades como complemento de ângulos, relações entre seno e cosseno e propriedades de limite de funções contínuas.

Passo 2

Usar a identidade de complemento: cotl(tfracpi2-xr)=tan x. Então o limite vira limxto0cot 2x,tan x.

Passo 3

Expressar em seno e cosseno: cot 2x=cos2xsin2x e tan x=sin xcos x. Assim
[
\frac{\cos2x}{\sin2x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos2x,\sin x}{\sin2x,\cos x}
]

Passo 4

Aplicar a identidade sin2x=2sin xcos x na fração:
[
\frac{\cos2x,\sin x}{(2\sin x\cos x),\cos x} = \frac{\cos2x}{2\cos^2x}
]

Passo 5

Avaliar o limite por continuidade em x=0: substituindo cos2xto1 e cos xto1 obtemos
[
\lim_{x\to0}\frac{\cos2x}{2\cos^2x} = \frac{1}{2\cdot1^2} = \frac12
]

Resposta

tfrac12

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