Calcule os limites das funções dadas
Passo 1
Enunciado: calcular
. O conteúdo envolve limites em funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades como complemento de ângulos, relações entre seno e cosseno e propriedades de limite de funções contínuas.
Passo 2
Usar a identidade de complemento:
. Então o limite vira
.
Passo 3
Expressar em seno e cosseno:
e
. Assim
[
\frac{\cos2x}{\sin2x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos2x,\sin x}{\sin2x,\cos x}
]
[
\frac{\cos2x}{\sin2x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos2x,\sin x}{\sin2x,\cos x}
]
Passo 4
Aplicar a identidade
na fração:
[
\frac{\cos2x,\sin x}{(2\sin x\cos x),\cos x} = \frac{\cos2x}{2\cos^2x}
]
[
\frac{\cos2x,\sin x}{(2\sin x\cos x),\cos x} = \frac{\cos2x}{2\cos^2x}
]
Passo 5
Avaliar o limite por continuidade em
: substituindo
e
obtemos
[
\lim_{x\to0}\frac{\cos2x}{2\cos^2x} = \frac{1}{2\cdot1^2} = \frac12
]
[
\lim_{x\to0}\frac{\cos2x}{2\cos^2x} = \frac{1}{2\cdot1^2} = \frac12
]