Exercício 6: Calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limx to +inftyl(1+tfrac2xr)^x. O conteúdo envolve limites do tipo exponencial, ou seja, reconhecer que expressões da forma (1+tfracax)^x costumam tender a e^a.

Passo 2

Vamos definir y = l(1+tfrac2xr)^x e trabalhar com o logaritmo natural para trazer o expoente para fora: ln y = xlnl(1+tfrac2xr).

Passo 3

Para calcular limxto+infty xln(1+2/x), note que quando x é grande temos u=2/x pequeno e usamos a expansão ln(1+u)approx u. Então
xlnl(1+2/xr)approx xcdot2x=2

Passo 4

Isso mostra que limxto+inftyln y=2. Como y=e^ln y, concluímos que yto e^2.

Resposta

e^2

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