Exercício 6: Calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x. O conteúdo envolvido é limite de forma indeterminada exponencial do tipo (1+u)^1/u e a ideia é usar o número e ou aplicar logaritmo e, se necessário, a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos chamar o valor do limite de L:
L=limxto+inftyl(1+12xr)^x
Para facilitar, tomamos o logaritmo natural:
ln L=limxto+inftyx,lnl(1+12xr)
Em seguida, escrevemos como quociente para aplicar L’Hôpital:
ln L=limxto+inftylnl(1+tfrac12xr)1/x

Passo 3

Tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando xto+infty, então usamos a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x:
Numerador:
ddxlnl(1+12xr) =11+tfrac12xcdotl(-tfrac12x^2r) = -12x^2l(1+tfrac12xr)
Denominador:
ddxl(1/xr) = -1x^2
Aplicando L’Hôpital:
ln L=limxto+infty-tfrac12x^2(1+tfrac12x)-tfrac1x^2 =limxto+infty12l(1+tfrac12xr) =12

Passo 4

Como ln L=1/2, obtemos L=e^1/2. Portanto,
O limite procurado é e^1/2, ou seja, raiz e.

Resposta

e^{1/2}

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