Exercício 6: Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo envolvido é limite de forma indeterminada exponencial do tipo
e a ideia é usar o número
ou aplicar logaritmo e, se necessário, a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Vamos chamar o valor do limite de
:
Para facilitar, tomamos o logaritmo natural:
Em seguida, escrevemos como quociente para aplicar L’Hôpital:
Passo 3
Tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
, então usamos a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Aplicando L’Hôpital:
Passo 4
Como
, obtemos
. Portanto,
O limite procurado é , ou seja,
.
O limite procurado é
Resposta
e^{1/2}