Calcule os limites das funções dadas
lim x pi3 1-2 cos xpi-3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função 1-2cos xpi-3x quando xtopi3. Este é um caso clássico de limite de tipo 0/0, em que a regra de l’Hôpital será útil.
Substituindo x=pi3 diretamente, o numerador fica 1-2cos(pi/3)=1-2cdottfrac12=0 e o denominador fica pi-3cdottfracpi3=0, confirmando a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Aplicamos a regra de l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador separadamente. A derivada do numerador 1-2cos x em relação a x é 2sin x e a do denominador pi-3x é -3. Assim obtemos:
Aplicando a l’Hôpital:
limxto pi/3 1-2cos xpi-3x = limxto pi/3 2sin x-3

Passo 3

Agora basta avaliar sin(pi/3)=tfracraiz32. Então
2sin(pi/3)-3 = 2cdot(raiz3/2)-3 = -raiz33

Resposta

-\frac{\sqrt{3}}{3}

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