Calcule os limites das funções dadas
lim x 1 cos pi x21-raizx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto1cospi x21-raizx. O conteúdo principal é limite de função com forma indeterminada 0/0, e vamos usar a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos que ao substituir x=1 temos cospicdot12=0 e 1-raiz1=0, logo é indeterminado 0/0. Aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
num'(x)=ddxgl[cospi x2gr]=-sinl(tfracpi x2r)cdottfracpi2, den'(x)=ddx[1-raizx]= -12raizx
O limite original então se torna
limxto1-sin(pi x2)cdotpi2-12raizx=limxto1l(piraizx,sintfracpi x2r)
Finalmente, ao levar xto1 obtemos raizxto1 e sin(tfracpi x2)to1, de onde o limite vale pi.

Resposta

pi

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