Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
an=1n raiz[n](n+1)(n+2) cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

Temos a sequência an = 1n raiz[n](n+1)(n+2)cdots(2n). O conteúdo é limite de sequência e vamos usar noção de soma de Riemann para determinar a convergência e o limite.

Passo 2

Reescrevendo o produto dentro da raiz:
(n+1)(n+2)cdots(2n) = n^n prodk=1^nl(1 + tfracknr)
Em seguida,
raiz[n](n+1)cdots(2n) = n l(prodk=1^nl(1 + tfracknr)r)^1/n
Logo,
an = 1ncdot nl(prodk=1^nl(1 + tfracknr)r)^1/n = l(prodk=1^nl(1 + tfracknr)r)^1/n

Passo 3

Tomando logaritmo para simplificar o produto:
ln an = 1n sumk=1^n lnl(1 + knr)

Passo 4

Reconhecendo a soma como Riemann para f(x)=ln(1+x) no intervalo [0,1]. Assim,
limntoinfty ln an = integral0^1 ln(1+x),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1 ln(1+x),dx = l[(1+x)ln(1+x) - xr]0^1 = 2ln2 - 1

Passo 6

Portanto,
limntoinfty ln an = 2ln2 - 1 Longrightarrow limntoinfty an = e^2ln2 - 1 = 4e
Concluímos que a sequência é convergente e seu limite é 4e.

Resposta

Convergente com limite 4e.

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