Determine um número z que satisfaça a equação dada.
|z|-z=2+i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um número complexo z que satisfaça a equação |z|-z=2+i. O conteúdo envolvido é representação de número complexo em forma cartesiana e uso de módulo, além de separar em partes real e imaginária para resolver.

Passo 2

Vamos escrever z como x+yi, com x,yin R. Então |z|=raizx^2+y^2 e a equação fica:
raizx^2+y^2 - (x+yi) = 2 + i

Passo 3

Agora separamos em partes real e imaginária. Da parte imaginária temos:
-,y = 1
que dá y = -1.

Passo 4

Da parte real obtemos:
raizx^2+y^2 - x = 2
Substituindo y=-1 em raizx^2+y^2:
raizx^2+1 - x = 2

Passo 5

Como o lado esquerdo requer raizx^2+1 >= 0, devemos ter x+2 >= 0, então x >= -2. Elevando ao quadrado:
x^2+1 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
Isso leva a
1 = 4x + 4
Logo 4x = -3 e x = -tfrac34, o que satisfaz x>= -2.

Passo 6

Portanto o número complexo procurado é z = -tfrac34 - i.
Fazendo uma rápida verificação: |z|=raiz(-3/4)^2+(-1)^2=5/4 e
|z| - z = tfrac54 -l(-tfrac34-ir) = 2 + i
confirmando que a solução está correta.

Resposta

z = -tfrac34 - i

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