Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
an=raiz[n](2 n)!n!

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: verificar a convergência da sequência an=raiz[n]tfrac(2n)!n!. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo fatoriais, e a técnica ideal é usar a aproximação de Stirling.

Passo 2

Para lidar com a raiz enésima de um quociente de fatoriais, a gente pega o logaritmo natural. Definimos
ln an=1nl(ln(2n)!-ln n!r)
Isso transforma a raiz em divisão e produtos em soma, o que facilita achar o limite.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Stirling, que diz ln k! = kln k - k + tfrac12ln(2pi k) + o(1) quando ktoinfty. Assim obtemos:
ln(2n)! = 2nln(2n) - 2n + tfrac12ln(4pi n) + o(1),
ln n! = nln n - n + tfrac12ln(2pi n) + o(1)

Passo 4

Subtraindo as duas expansões e dividindo por n, dá
ln an = 1nl[ln(2n)! - ln n!r] = 2ln2 + ln n - 1 + o(1) = ln(4n) - 1 + o(1)

Passo 5

Voltando da forma logarítmica, concluímos
an = e^ln an = 4ne,(1 + o(1))
Como 4n/eto +infty, a sequência diverge para infinito.

Resposta

A sequência é divergente, com anto +infty.

Exercícios relacionados