Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: verificar a convergência da sequência
. O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo fatoriais, e a técnica ideal é usar a aproximação de Stirling.
Passo 2
Para lidar com a raiz enésima de um quociente de fatoriais, a gente pega o logaritmo natural. Definimos
Isso transforma a raiz em divisão e produtos em soma, o que facilita achar o limite.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Stirling, que diz
quando
. Assim obtemos:
Passo 4
Subtraindo as duas expansões e dividindo por
, dá
Passo 5
Voltando da forma logarítmica, concluímos
Como
, a sequência diverge para infinito.
Resposta
A sequência é divergente, com
.