Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
converge ou diverge, e no caso convergente calcular o limite. O conteúdo é análise de limite de sequência na forma indeterminada
, precisaremos usar logaritmos e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Para lidar com a forma
, definimos
. Assim:
Se encontrarmos
, então
.
Passo 3
Expandimos o logaritmo em série para termos pequenos: como
, ao substituir
obtém-se
Logo
e portanto
.
Passo 4
Concluímos que
. Como
, segue que
Passo 5
Como o limite existe e é finito, a sequência converge para
.
Resposta
A sequência converge e
.