Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an = l(tfracn+1nr)^raizn converge ou diverge, e no caso convergente calcular o limite. O conteúdo é análise de limite de sequência na forma indeterminada 1^infty, precisaremos usar logaritmos e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Para lidar com a forma 1^infty, definimos bn = ln(an). Assim:
bn = raizn cdot lnl(1 + tfrac1nr)
Se encontrarmos limntoinfty bn, então limntoinfty an = e^lim bn.

Passo 3

Expandimos o logaritmo em série para termos pequenos: como ln(1+x)=x-tfracx^22+o(x^2), ao substituir x=1/n obtém-se
lnl(1+tfrac1nr)=tfrac1n-tfrac12n^2+o(n^-2)
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bn=raiznl(tfrac1n-tfrac12n^2+o(n^-2)r)=tfrac1raizn+o(n^-1/2),
e portanto bnto0.

Passo 4

Concluímos que limntoinfty bn=0. Como an=e^bn, segue que
limntoinftyan=e^0=1

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a sequência converge para 1.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=1.

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