Calcule os limites das funções dadas
lim x 1 sin pi xsin 3 pi x

Passo 1

Primeiro, a gente quer calcular o limite limxto1 sin(pi x)sin(3pi x). O conteúdo aqui é cálculo de limite de quociente e vamos precisar lidar com uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Fazendo a substituição direta x=1, temos sin(picdot1)=sinpi=0 e sin(3picdot1)=sin(3pi)=0, ou seja, obtemos a indeterminação 0/0. Sempre que tivermos 0/0 e as derivadas existirem, podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. Derivada de sin(pi x) é picos(pi x) e de sin(3pi x) é 3picos(3pi x).

Passo 4

O limite passa a ser limxto1 picos(pi x)3picos(3pi x). Podemos simplificar o fator pi e ficar com limxto1 cos(pi x)3cos(3pi x).

Passo 5

Agora substituímos x=1: cos(picdot1)=cospi=-1 e cos(3picdot1)=cos(3pi)=-1. Assim o quociente é -13cdot(-1)=tfrac13.

Resposta

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