Determine o módulo do número complexo dado.
Passo 1
Esse exercício pede para determinar o módulo de um número complexo dado por i(2 - i) - 4\left(1 + \frac{1}{4}i\right). O conteúdo envolve operações básicas com números complexos (distributiva e propriedades de i) e a definição de módulo de um número complexo.
Passo 2
Vamos calcular i(2 - i). Usando distributiva e lembrando que i^2 = -1, temos: i \cdot 2 = 2i e i \cdot (-i) = -i^2 = 1. Logo, i(2 - i) = 1 + 2i.
Passo 3
Agora, calculamos 4\left(1 + \frac{1}{4}i\right). Usando distributiva: 4\cdot 1 = 4 e 4\cdot \frac{1}{4}i = i. Portanto, 4\left(1 + \frac{1}{4}i\right) = 4 + i.
Passo 4
Subtraímos os resultados obtidos: (1 + 2i) - (4 + i) = 1 - 4 + (2i - i) = -3 + i.
Passo 5
Para encontrar o módulo de z = -3 + i, aplicamos \lvert z\rvert = \sqrt{a^2 + b^2}, onde a = -3 e b = 1. Assim, \lvert -3 + i\rvert = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.