Esboce os gráficos das funções f: R R definidas por y=f(x) abaixo:
y=|x-3|^3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de y=|x–3|³. O conteúdo aqui é transformação de função com valor absoluto e potência cúbica. Para resolver, vamos usar definição de valor absoluto, transformação de translação e o comportamento de funções cúbicas.

Passo 2

Vamos reescrever y=|x–3|³ como função definida por partes usando que |u|³= u³ se u≥0 e = –u³ se u<0. Aqui u=x–3, então
Para x≥3 temos
y=(x-3)^3,
e para x<3 temos
y=-(x-3)^3
Cada ramo é um trecho de uma cúbica transladada.

Passo 3

Analisando cada ramo: as cúbicas têm tangente horizontal em x=3 (derivada zero) e são simétricas por rotação de 180° em torno do ponto (3,0). À direita de x=3 a função cresce como (x–3)³, à esquerda decresce como –(x–3)³.

Passo 4

Escolhemos pontos chaves para guiar o esboço: nos dois lados de x=3, y é positivo e simétrico. Por exemplo:
Para x=3, y=0;
Para x=4 e x=2, y=1;
Para x=5 e x=1, y=8.
Em ±∞ cada ramo vai também a +∞.

Passo 5

Com esses pontos e o formato cúbico, traçamos uma curva que, para x<3, vem de +∞ decrescendo até (3,0) com inclinação zero, e para x>3 sai de (3,0) e cresce até +∞ com inclinação zero.

Passo 6

Pronto! Esse é o esboço de y=|x–3|³, juntando os dois ramos cúbicos de forma suave e mostrando os pontos e comportamentos em cada região.

Resposta

O gráfico é dado pelo ramo esquerdo y=-(x-3)^3, x<3 que decresce suavemente de +∞ até (3,0) com tangente horizontal, e pelo ramo direito y=(x-3)^3, x>=3 que cresce de (3,0) até +∞ com tangente horizontal. Pontos de referência: (3,0), (4,1), (2,1), (5,8), (1,8).

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