Esboce os gráficos das funções
definidas por
abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de y=|x–3|³. O conteúdo aqui é transformação de função com valor absoluto e potência cúbica. Para resolver, vamos usar definição de valor absoluto, transformação de translação e o comportamento de funções cúbicas.
Passo 2
Vamos reescrever y=|x–3|³ como função definida por partes usando que |u|³= u³ se u≥0 e = –u³ se u<0. Aqui u=x–3, então
Para x≥3 temos
Para x≥3 temos
e para x<3 temos
Cada ramo é um trecho de uma cúbica transladada.
Passo 3
Analisando cada ramo: as cúbicas têm tangente horizontal em x=3 (derivada zero) e são simétricas por rotação de 180° em torno do ponto (3,0). À direita de x=3 a função cresce como (x–3)³, à esquerda decresce como –(x–3)³.
Passo 4
Escolhemos pontos chaves para guiar o esboço: nos dois lados de x=3, y é positivo e simétrico. Por exemplo:
Para x=3, y=0;
Para x=4 e x=2, y=1;
Para x=5 e x=1, y=8.
Em ±∞ cada ramo vai também a +∞.
Para x=3, y=0;
Para x=4 e x=2, y=1;
Para x=5 e x=1, y=8.
Em ±∞ cada ramo vai também a +∞.
Passo 5
Com esses pontos e o formato cúbico, traçamos uma curva que, para x<3, vem de +∞ decrescendo até (3,0) com inclinação zero, e para x>3 sai de (3,0) e cresce até +∞ com inclinação zero.
Passo 6
Pronto! Esse é o esboço de y=|x–3|³, juntando os dois ramos cúbicos de forma suave e mostrando os pontos e comportamentos em cada região.
Resposta
O gráfico é dado pelo ramo esquerdo
que decresce suavemente de +∞ até (3,0) com tangente horizontal, e pelo ramo direito
que cresce de (3,0) até +∞ com tangente horizontal. Pontos de referência: (3,0), (4,1), (2,1), (5,8), (1,8).