Calcule os limites das funções dadas
lim x 0 x-sin 2 xx+sin 3 x

Passo 1

A questão pede para calcular limxto 0x-sin2xx+sin3x. O conteúdo-chave aqui é limite de funções envolvendo sin x e vamos usar a expansão de Taylor de sin x em torno de zero até termos cúbicos para resolver.

Passo 2

Sabendo que a expansão de Taylor de sin u em torno de zero é sin u = u - u^36 + o(u^3), aplicamos para u=2x e u=3x:
sin2x = 2x - (2x)^36 + o(x^3) = 2x - 8x^36 + o(x^3) = 2x - 43x^3 + o(x^3)
sin3x = 3x - (3x)^36 + o(x^3) = 3x - 27x^36 + o(x^3) = 3x - 92x^3 + o(x^3)

Passo 3

Substituindo essas expansões no numerador e denominador temos:
Numerador: x - sin2x = x - l(2x - tfrac43x^3 + o(x^3)r) = -x + tfrac43x^3 + o(x^3).
Denominador: x + sin3x = x + l(3x - tfrac92x^3 + o(x^3)r) = 4x - tfrac92x^3 + o(x^3).

Passo 4

Fatorando x em cima e em baixo e depois cancelando, obtemos:
-x + tfrac43x^3 + o(x^3)4x - tfrac92x^3 + o(x^3) = xl(-1 + tfrac43x^2 + o(x^2)r)xl(4 - tfrac92x^2 + o(x^2)r) = -1 + tfrac43x^2 + o(x^2)4 - tfrac92x^2 + o(x^2)
Quando xto0, os termos de ordem x^2 e superiores desaparecem, sobrando apenas o quociente dos constantes.
Portanto, o limite é
-tfrac14

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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