Calcule os limites de funções vetoriais:
lim t pi / 4 F(t), sendo F(t)=(t cos (t), e^-t sen(t), 4 t^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função vetorial. O enunciado pede para calcular lim t pi / 4 F(t), onde F(t)=(t cos (t), e^-t sin(t), 4 t^2). A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites de funções vetoriais. Vamos precisar entender que o limite de uma função vetorial é simplesmente o vetor formado pelos limites de cada uma das suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função vetorial, a gente calcula o limite de cada componente da função separadamente. Ou seja,
lim t pi / 4 F(t) = ( lim t pi / 4 t cos(t), lim t pi / 4 e^-t sin(t), lim t pi / 4 4 t^2 )

Passo 3

Vamos calcular o primeiro limite: lim t pi / 4 t cos(t).
Sabemos que a função t é contínua e cos(t) também é contínua. Então, podemos simplesmente substituir t por pi/4:
lim t pi / 4 t cos(t) = ( pi4 ) cos( pi4 )
E como cos(pi/4) = raiz22, temos:
( pi4 ) cdot raiz22 = pi raiz28

Passo 4

Agora, vamos para o segundo limite: lim t pi / 4 e^-t sin(t).
As funções e^-t e sin(t) também são contínuas, então substituímos t por pi/4:
lim t pi / 4 e^-t sin(t) = e^-pi/4 sin( pi4 )
Sabendo que sin(pi/4) = raiz22, temos:
e^-pi/4 cdot raiz22 = raiz22 e^-pi/4

Passo 5

Por fim, vamos calcular o terceiro limite: lim t pi / 4 4 t^2.
Essa função é um polinômio e, portanto, contínua. Substituímos t por pi/4:
lim t pi / 4 4 t^2 = 4 ( pi4 )^2 = 4 cdot pi^216 = pi^24

Resposta

lim t pi / 4 F(t) = ( pi raiz28, raiz22 e^-pi/4, pi^24 )

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