Determine o trabalho efetuado pela força F(x)=x^2+2 x ao deslocar uma partícula ao longo do eixo x do ponto x=1 ao ponto x=3.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento unidimensional. A força é
F(x)=x^2+2x
e o deslocamento vai de x=1 até x=3. O conteúdo aqui é trabalho de força variável, e vamos precisar da definição de trabalho como integral de linha unidimensional.

Passo 2

Pela definição, o trabalho W de uma força F(x) que age ao longo do eixo x de x=a até x=b é
W = integrala^b F(x),dx
No nosso caso, a=1, b=3 e F(x)=x^2+2x.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de F(x). Calculando a integral indefinida:
integral l(x^2+2xr),dx = integral x^2,dx + 2integral x,dx = x^33 + x^2 + C

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva entre os limites 1 e 3:
W = [x^33 + x^2]1^3 = l(3^33+3^2r) - l(1^33+1^2r) = l(9+9r) - l(tfrac13+1r) = 18 - tfrac43 = tfrac503

Resposta

O trabalho realizado é W = tfrac503.

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