Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O assunto é equações homogêneas de coeficientes constantes e vamos precisar montar a equação característica para encontrar as raízes e, daí, a solução geral.
Passo 2
Primeiro transformamos a equação diferencial na equação característica trocando
por
:
Isso vem da ideia de testar uma solução do tipo
.
Passo 3
Agora resolvemos a equação característica:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
com
.
Passo 4
Quando as raízes são
a solução geral da equação homogênea é
Aqui
, então o termo
desaparece.
Passo 5
Substituindo
na forma geral, chegamos à solução: