Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
3 y^prime prime+y=0 ; y=c1 cos (xraiz3)+c2 sen(xraiz3)

Passo 1

Nesse exercício a gente quer resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
3y'' + y = 0
O assunto é equações homogêneas de coeficientes constantes e vamos precisar montar a equação característica para encontrar as raízes e, daí, a solução geral.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação diferencial na equação característica trocando y'' por r^2:
3r^2 + 1 = 0
Isso vem da ideia de testar uma solução do tipo y=e^rx.

Passo 3

Agora resolvemos a equação característica:
3r^2 + 1 = 0 implies r^2 = -13 implies r = pm i1raiz3
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas r=0pm ibeta com beta=1/raiz3.

Passo 4

Quando as raízes são r=alphapm ibeta a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C1e^alpha xcos(beta x)+C2e^alpha xsin(beta x)
Aqui alpha=0, então o termo e^0cdot x=1 desaparece.

Passo 5

Substituindo beta=1/raiz3 na forma geral, chegamos à solução:
y(x)=C1cosl(xraiz3r)+C2sinl(xraiz3r)

Resposta

y(x)=C1cosl(tfracxraiz3r)+C2sinl(tfracxraiz3r)

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