Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, t \operatorname{sen}\left(\frac{1}{t}\right), t e^{-t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando t\to0, do vetor
\Bigl(\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\,t\sin\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr),\,t e^{-t}\Bigr)
e quer que a gente diga em quais componentes há descontinuidade em t=0 e de que tipo. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções reais (racionais, com produto e com exponencial) e continuidade.

Passo 2

Para a primeira componente \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, como é uma função racional definida em t=0 (já que 1-0\neq0), basta substituir t=0:
\lim_{t\to0}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} =\frac{1+0}{1-0} =1.
Como o valor da função em t=0 é \frac{1+0}{1-0}=1, ela é contínua em 0 (nenhuma descontinuidade).

Passo 3

Para a segunda componente t\sin\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr), observe que \sin(1/t) fica sempre entre -1 e 1, logo
-\,|t|\le t\sin\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\le|t|,
e pelo Teorema do Confronto
\lim_{t\to0}t\sin\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)=0.
Porém a função não está definida em t=0 (não se dá valor para \sin(1/t) quando t=0), então há descontinuidade removível em 0, pois o limite existe e é finito.

Passo 4

Para a terceira componente t e^{-t}, note que e^{-t} é contínua em todo \mathbb{R} e em particular em 0, valendo e^{0}=1. Então
\lim_{t\to0}t e^{-t} =0\cdot1 =0.
Além disso a função está bem definida em t=0 (dá 0\cdot e^{0}=0), logo é contínua em 0 (nenhuma descontinuidade).

Resposta

O limite do vetor é
(1,\,0,\,0).
A primeira e a terceira componentes são contínuas em t=0. A segunda componente tem descontinuidade removível em t=0.

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