Desafio. (2.5 pontos)

Sejam
\operatorname{sinc}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 1 & \text { se } x=0 \end{array} \quad \text { e } \quad T(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sinc}(t) d t\right.
Mostre que a função f(x)=x \cdot T(x) é uma solução da equação diferencial
x y^{\prime}(x)-y=x \cdot \operatorname{sen}(x)
e determine a família soluções desta equação diferencial. Mostre que não há soluções satisfazendo \lim _{x \rightarrow 0} y(x)=1 e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
\operatorname{sinc}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(x)}{x},&x\neq0,\\[6pt] 1,&x=0, \end{cases}
e
T(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sinc}(t)\,dt,
pede para mostrar que
f(x)=x\,T(x)
satisfaz a equação diferencial
x\,y'(x)-y(x)=x\sin(x),
e em seguida determinar a família geral de soluções dessa equação e provar que nenhuma delas pode satisfazer \lim_{x\to0}y(x)=1.]

Passo 2

Vamos verificar que f(x)=x\,T(x) satisfaz a equação. Para x\neq0:
– Primeiro note que
T'(x)=\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.
– Usando derivação do produto,
f'(x)=\bigl(x\,T(x)\bigr)'=T(x)+x\,T'(x)=T(x)+\sin(x).
– Então
x\,f'(x)-f(x) =x\bigl(T(x)+\sin(x)\bigr)-x\,T(x) =x\sin(x),
como era para mostrar.

Passo 3

Para achar a família geral, reescrevemos a equação como
y'(x)-\frac{1}{x}y(x)=\sin(x),
que é uma EDO linear de primeira ordem. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr)=\frac{1}{x}.
Multiplicando tudo por \tfrac1x obtemos
\bigl(y(x)/x\bigr)'=\frac{\sin(x)}{x}.
Integrando,
\frac{y(x)}{x}=\int\frac{\sin(x)}{x}\,dx + C =T(x)+C,
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y(x)=x\bigl(T(x)+C\bigr)=x\,T(x)+C\,x.

Passo 4

Para x\to0 temos T(0)=\int_{0}^{0}\!*\;=0 e T(x) é contínua, então
y(x)=x\bigl(T(x)+C\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}y(x)=0.
Não há como fazer esse limite ser 1.

Resposta

y(x)=x\,T(x)+C\,x,
e não existe C tal que \displaystyle\lim_{x\to0}y(x)=1, pois para toda C tem-se
\lim_{x\to0}y(x)=0.

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