Determine o domínio das funções vetoriais.
r(t)=\left(|t-2|, \sqrt{t^{2}+2 t+1}, \ln \left(\frac{t^{2}-1}{t+3}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
r(t)=\bigl(|t-2|,\;\sqrt{t^{2}+2t+1},\;\ln\!\bigl(\tfrac{t^{2}-1}{\,t+3\,}\bigr)\bigr).
Para cada componente precisamos:
  1. |t-2| não impõe restrição (está definido para todo t\in\mathbb{R}).
  2. \sqrt{t^{2}+2t+1} exige t^{2}+2t+1\ge0.
  3. \ln\bigl(\tfrac{t^{2}-1}{t+3}\bigr) exige \tfrac{t^{2}-1}{t+3}>0 e t+3\neq0.

Passo 2

Analisando a segunda componente, temos
t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}\ge0
para todo t.
Logo, a raiz quadrada está definida em \mathbb{R} inteiro, não restringe t.

Passo 3

Na terceira componente exigimos
\frac{t^{2}-1}{t+3}>0 \quad\text{e}\quad t+3\neq0.
Note que t^{2}-1=(t-1)(t+1).

Passo 4

Determinamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador se anulam:
t=-1,\quad t=1,\quad t=-3.
Fazendo o estudo de sinais de \tfrac{(t-1)(t+1)}{t+3}:
  • Em (-\infty,-3): pega-se t=-4 dá sinal negativo.
  • Em (-3,-1): pega-se t=-2 dá sinal positivo.
  • Em (-1,1): pega-se t=0 dá sinal negativo.
  • Em (1,\infty): pega-se t=2 dá sinal positivo.
    Além disso, em t=-3 o denominador anula, em t=\pm1 o numerador anula (e gera argumento zero do \ln).

Passo 5

Concluímos que a condição \tfrac{t^{2}-1}{t+3}>0 vale somente em
(-3,-1)\;\cup\;(1,\infty).
Como as outras componentes não impõem restrição extra, o domínio de r é exatamente esse.

Resposta

O domínio de r(t) é
(-3,-1)\;\cup\;(1,\infty).

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