Em quais pontos a curva r(t)=t i+\left(2 t-t^{2}\right) k intercepta o hiperboloide z=x^{2}-y^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+\bigl(2t - t^{2}\bigr)\,\mathbf{k}
e a superfície definida por
z = x^{2} - y^{2}.
O que faremos é: 1) escrever as coordenadas (x,y,z) em função de t; 2) impor a condição z = x^{2}-y^{2}; 3) resolver para t; 4) obter os pontos.

Passo 2

Das componentes de \mathbf{r}(t) extraímos
x(t) = t,\quad y(t) = 0,\quad z(t) = 2t - t^{2}.

Passo 3

Para que o ponto esteja sobre a superfície, deve valer
z(t) \;=\; x(t)^{2} \;-\; y(t)^{2}.
Substituindo:
2t - t^{2} \;=\; t^{2} - 0^{2}.

Passo 4

Resolvendo
2t - t^{2} = t^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2t - 2t^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2t(1 - t) = 0
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t = 0 \quad\text{ou}\quad t = 1.

Passo 5

Agora encontramos os pontos:
  • Para t=0: \bigl(x,y,z\bigr) = (0,0,0).
  • Para t=1: \bigl(x,y,z\bigr) = (1,0,2\cdot1 - 1^{2}) = (1,0,1).

Resposta

(0,0,0) (1,0,1)

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